La ley de Pareto y donaciones

¿Alguna vez te has preguntado por qué, en muchas situaciones, una pequeña parte de las personas parece contribuir con la mayor parte de los resultados? Este fenómeno, conocido como la Ley de Pareto o la regla del 80/20, no solo es interesante, sino que también es una herramienta poderosa para entender y predecir comportamientos en contextos tan diversos como la economía, los negocios y, en el ejemplo que abordaremos enseguida, las donaciones.

En esta ocasión, exploraremos cómo la Ley de Pareto, una distribución de probabilidad que sigue la ley de potencias, puede ser utilizada para modelar la forma en que un grupo de donantes contribuye a alcanzar una meta financiera específica, como recaudar 20 millones de pesos. Este enfoque nos permitirá entender cómo, en muchas situaciones cotidianas, una pequeña proporción de individuos tiende a contribuir con la mayor parte de los recursos, mientras que la mayoría aporta cantidades más modestas.

Este modelo es especialmente útil para modelar probabilísticamente situaciones en las que las contribuciones son desiguales, como en campañas de donaciones, recaudación de fondos o incluso en la distribución de ingresos en una economía.

En nuestro caso, lo aplicaremos para entender cómo un grupo de donantes puede reunir 20 millones de pesos, suponiendo que algunas personas donarán cantidades pequeñas (por ejemplo, 1000 pesos), mientras que otras aportarán montos significativamente mayores (como 15,000 pesos).

La función de densidad de probabilidad (PDF) de la distribución de Pareto es 

f(x) = (α  x_m^α) / x^(α + 1) 

donde 

- x es el monto de la contribución (1000, 5000, 10000, 15000 pesos). 

- x_m es el valor mínimo de x (en este caso, 1000 pesos). 

- α es el parámetro de forma, que controla cómo decae la distribución. Un α más grande implica una cola más corta. 

La función de distribución acumulativa (CDF) se obtiene mediante la integración de la función de densidad de probabilidad o PDF desde 0 hasta x, representando así la probabilidad de que el evento ocurra hasta dicho valor. Esta CDF puede expresarse como

F(x) = 1 - (x_m / x)^α. 

Supongamos que las contribuciones son discretas y pueden tomar valores de 1000, 5000, 10000 y 15000 pesos. La probabilidad de que una persona done exactamente una cantidad x se calcula como

P(x) = F(x_siguiente) - F(x)

donde F(x) es la función de distribución acumulativa y x_siguiente representa el siguiente valor discreto en la lista de posibles contribuciones.

Esta diferencia nos da la probabilidad de que una persona aporte exactamente x porque F(x) representa la probabilidad acumulada de que la contribución sea menor o igual a x, mientras que F(x_siguiente) representa la probabilidad de que la contribución sea menor o igual a x_siguiente.

Al restar ambas cantidades, eliminamos la parte acumulada hasta x y obtenemos únicamente la probabilidad de que la contribución esté en el rango exacto de x y no en valores menores. Esto es imporante en distribuciones discretas, donde los valores posibles no son continuos sino que se presentan en niveles específicos.

Por ejemplo, en nuestro caso tenemos que

						P(1000) = F(5000) - F(1000) 

						P(5000) = F(10000) - F(5000) 

						P(10000) = F(15000) - F(10000) 

						P(15000) = 1 - F(15000) 

El número total de personas N_total se distribuye según las probabilidades de Pareto. Si N_i es el número de personas que aportan x_i, entonces: 

N_i = N_total * P(x_i) 

El monto total recaudado se expresa como,

Suma(x_i * N_i) = 20,000,000 

donde Suma representa la sumatoria de los valores dentro de los parentesis, así como el sub-índice i representa el i-simo valor.

Sustituyendo N_i en la relación anterior tenemos que

Suma(x_i * N_total  * P(x_i) ) = 20,000,000 

Simplificando,

N_total * Suma(x_i * P(x_i)) = 20,000,000 

Por lo tanto, resolviendo para N_total tenemos

N_total = 20,000,000 / Suma(x_i * P(x_i)) 

Supongamos un valor de α = 1.5. El valor de α=1.5 que elegimos para este modelo no es arbitrario, sino que se basa en observaciones empíricas y en la naturaleza típica de las distribuciones de Pareto en contextos reales. Para este valor calculamos las probabilidades,

P(1000) = F(5000) - F(1000) = (1 - (1000/5000)^1.5) - (1 - (1000/1000)^1.5) = 0.553 

P(5000) = F(10000) - F(5000) = (1 - (1000/10000)^1.5) - (1 - (1000/5000)^1.5) = 0.250 

P(10000) = F(15000) - F(10000) = (1 - (1000/15000)^1.5) - (1 - (1000/10000)^1.5) = 0.119 

P(15000) = 1 - F(15000) = (1000/15000)^1.5 = 0.078 

Así el monto esperado por persona es:

Suma(x_i  P(x_i)) = 1000  0.553 + 5000  0.250 + 10000  0.119 + 15000 * 0.078 

Calculando

Suma(x_i  P(x_i)) = 553 + 1250 + 1190 + 1170 = 4163 pesos por persona 

Usamos la fórmula que obtuvimos arriba para el caso de N_total, entonces

N_total = 20,000,000 / Suma(x_i * P(x_i)) = 20,000,000 / 4163 
        ≈ 4804 personas 

Finalmente, el número de personas que aportan cada cantidad es

			N(1000) = 4804 * 0.553 ≈ 2656 personas 

			N(5000) = 4804 * 0.250 ≈ 1201 personas 

			N(10000) = 4804 * 0.119 ≈ 572 personas 

			N(15000) = 4804 * 0.078 ≈ 375 personas 

Conclusión 

Bajo un modelo de Pareto con α = 1.5, se necesitan aproximadamente 4804 personas para recaudar 20 millones de pesos, distribuidas de la siguiente manera: 

- 2656 personas aportan 1000 pesos. 

- 1201 personas aportan 5000 pesos. 

- 572 personas aportan 10000 pesos. 

- 375 personas aportan 15000 pesos. 

Este modelo refleja que la mayoría de las personas aportan cantidades pequeñas, mientras que una minoría contribuye con montos significativos. Si se ajusta el parámetro α, la distribución cambiará: un α más grande reducirá el número de personas que aportan cantidades grandes.

Emliano Terán Bobadilla